通常、セキュアHTTPS接続をするには、まずサーバーに独自IPアドレスが必要だが、それに加えて通常は有料のSSL証明書を認証機関からとるというのが定説だったが、最近では無料のSSL証明書を発行してもらえるStartSSLというのが登場！
取得方法はこちらのサイトが解説しています。http://qiita.com/k-shogo/items/870b6d3939dd08da2de4#1-2
これを使えば、通常のホスティングに加えて独自IPアドレスを購入だけで、セキュリティ警告の出ないHTTPS接続のサイトが作れそうです。
なお、StartSSLというところの組織がよくわからなく心配になるのも事実かもしれませんが、この秋にはもう少し大手の組織も無料でSSL証明書を発行してもらえるようになりそうです。
こちらのLetsEncryptは、MozillaやCisco Systemsもスポンサーになっているので、より安心感がありますので、それを待つのも手かもしれません。